2023 “华为杯” 中国研究生数学建模竞赛（F题）深度剖析|数学建模完整代码+建模过程全解全析

F题代码+思路

当大家面临着复杂的数学建模问题时，你是否曾经感到茫然无措？作为2021年美国大学生数学建模比赛的O奖得主，我为大家提供了一套优秀的解题思路，让你轻松应对各种难题。
让我们一起看看研赛的F题呀！全文都已放出哦~

问题重述

1.如何利用双偏振雷达的数据有效改进强对流降水的短临预报?要求建立可以提取双偏振雷达数据中的微物理特征信息的模型,进行0-1小时的降水预报。
2.当前一些数据驱动模型存在“回归到均值”的问题,生成的强降水预报往往过于模糊。要求在问题1的基础上,设计模型以生成更真实、更丰富细节的降水预报结果。
3.要求利用雷达反射率Z_H和差分反射率Z_DR,建立模型进行定量降水估计,即利用这两个变量预测降水量。
4.要求设计模型来评估双偏振雷达数据对强降水预报的贡献,并通过优化数据融合策略,与其他数据源集成,以提高强降水检测与预报的准确性。

问题一

1.输入输出设计
输入:$X=Xt-9,...,Xt$
其中$Xt\in RH\times W\times C$表示时刻t的雷达图像,H、W为高度和宽度,C为通道数。
输出:$Y^{=}{Y}^t+1,...,Y^t+10$
其中$Y^t\in RH\times W$表示时刻t的预测$Z_H$。
2.卷积特征提取
使用卷积层提取输入的局部特征:$F=f([X;\Theta f]$)
其中f表示卷积运算,${\Theta }_f$为卷积层参数。
3.卷积LSTM建模时空相关性

4.转置卷积上采样
$Y^{=}fT([H;\Theta T])$
其中$f^T$表示转置卷积,H为卷积LSTM输出特征,${\Theta }_T$为转置卷积参数。
5.损失函数设计

代码：

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras.layers import ConvLSTM2D, Conv2D, Conv2DTranspose

# 输入层
inputs = tf.keras.Input(shape=(10, 128, 128, 3)) 

# 卷积层提取特征
x = Conv2D(filters=64, kernel_size=3, activation='relu')(inputs)
x = MaxPooling2D((2, 2))(x)
from tensorflow.keras.layers import ConvLSTM2D, Conv2D, Conv2DTranspose, Attention
from tensorflow.keras import Model

inputs = Input(shape=(10, 128, 128, 3))

# 第一层卷积
x = Conv2D(64, 3, padding='same', activation='relu')(inputs)  

# 第二层卷积
x = Conv2D(64, 3, padding='same', activation='relu')(x)

# 第一层卷积LSTM 
x = ConvLSTM2D(64, 3, padding='same', return_sequences=True)(x)

# 第二层卷积LSTM
x = ConvLSTM2D(64, 3, padding='same', return_sequences=True)(x)

# 注意力机制

# 利用一个Dense层学习注意力权重
attn_layer = Dense(units=64, activation='tanh')(x)  

# 计算注意力权重
attn_weights = Dense(units=10, activation='softmax')(attn_layer)

# 尺度注意力权重
attn_weights = Reshape((10, 1, 1, 1))(attn_weights) 

# 计算注意力输出
attn_output = Multiply()([x, attn_weights])

# 转置卷积上采样 

# 第1层转置卷积
x = Conv2DTranspose(filters=64, kernel_size=3, strides=2, padding='same')(attn_output)

# 第2层转置卷积 
x = Conv2DTranspose(filters=32, kernel_size=3, strides=2, padding='same')(x)  

# 第3层转置卷积
x = Conv2DTranspose(filters=1, kernel_size=3, strides=2, padding='same')(x)

# 构建Model
model = Model(inputs, x)

# 编译与训练
model.compile(loss='mae', optimizer='adam')
model.fit(X_train, y_train, epochs=10) 

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

# 编译与训练
model.compile(loss='mae', optimizer='adam') 
model.fit(X_train, y_train, epochs=10)

# 预测
y_pred = model.predict(X_test)

问题二

1.构建multi-scale的预报模型
在卷积LSTM模型中,同时预测不同尺度的Z_H:·低分辨率Z_H:反映大尺度的降水格局
·高分辨率Z_H:反映小尺度的降水细节2.加入先验约束
根据气象知识,加入对强降水的先验约束,例如:·强降水具有聚集性
·细胞运动遵循流场
·生命期分不同发展阶段
可以将这些先验知识以约束条件加入模型。
3.模型集成
使用多个不同的模型,对其各自的预报结果进行融合。
4.数据增强
通过旋转、翻转、添加噪声等来增强训练数据,提高模型的鲁棒性。
5.模型和训练策略优化
改进模型结构,调整损失函数,优化训练超参等。

from tensorflow.keras.layers import Input, ConvLSTM2D, UpSampling2D
from tensorflow.keras.models import Model

inputs = Input(shape=(10, 128, 128, 1))

# 低分辨率预测分支

x1 = ConvLSTM2D(filters=32, kernel_size=3, padding='same', return_sequences=True)(inputs)
x1 = BatchNormalization()(x1) # 加入BN层
x1 = ConvLSTM2D(filters=32, kernel_size=3, padding='same')(x1)  
x1 = Conv2D(filters=1, kernel_size=1, padding='same')(x1)

# 高分辨率预测分支 

x2 = ConvLSTM2D(filters=64, kernel_size=3, padding='same', return_sequences=True)(inputs)
x2 = BatchNormalization()(x2) 
x2 = ConvLSTM2D(filters=64, kernel_size=3, padding='same')(x2)
x2 = UpSampling2D(size=(2,2))(x2) # 双线性插值上采样 
x2 = Conv2D(filters=1, kernel_size=1, padding='same')(x2)

# 合并不同尺度

merged = Add()([x1, x2])  
merged = BatchNormalization()(merged) # BN层融合不同分支

# 编译与训练
model.compile(loss='mse', optimizer='adam') 

问题三

思路：
1.输入输出设计
输入:雷达反射率$Z_H$ 和 差分反射率 $Z_{D}R$输出:预测降水量R
2.建立Z-R关系
$R=a\ast Z_H^b\ast Z_D{R}^c$其中a,b,c为经验参数。
将问题转换为确定这三个参数。
3.参数确定
收集观测数据:从多个地区和多种降水类型收集大量三元组数据(Z_H, Z_DR, R)。
数据预处理:去除误差较大的样本,检查数据质量。标准化Z_H和Z_DR。
拟合参数:构建损失函数 $\mathcal{L}={\sum }_{i=1}^N({\hat{R}}_i-R_i{)}^{2}L=\sum i=1N(R^i-Ri)2$,其中${\hat{R}}_i=a{Z}_{H_i}^b{Z}_{D{R}_i}^c{R}^i=aZHibZDRic$ 。使用梯度下降算法学习参数a,b,c以最小化损失函数。
4.模型选择:比较不同的幂指数组合,选择拟合效果最佳的一组参数。模型检验
收集独立测试数据:保证训练数据和测试数据的地区和降水类型有所不同。
测试集预测:将测试数据Z_H和Z_DR代入学到的Z-R关系,生成降水预测$\hat{R}$。
评估指标:计算RMSE、MAE等检验预测效果。绘制散点图比较$\hat{R}$和R。
模型改进:比较不同区域和降水类型的预测效果,分析原因,进一步优化模型。
极端情况验证:使用极端降雨情况下的数据验证模型的适用范围和稳健性。

代码：

import numpy as np
from sklearn.metrics import mean_squared_error

# 收集并预处理观测数据
zh = [12, 15, 13, ...] # 反射率因子Z_H
zdr = [0.8, 1.2, 0.7, ...] # 差分反射率Z_DR
r = [10, 25, 12, ...] # 实测降水量R

# 定义Z-R关系,初始化参数  
def zr_relation(zh, zdr, a, b, c):
    return a * zh**b * zdr**c


# 使用最小二乘法拟合参数
def train(zh, zdr, r, a, b, c):
    preds = [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z,zd in zip(zh, zdr)]  
    loss = mean_squared_error(r, preds)
    # 参数初始化
a, b, c = 0.01, 1.4, 0.9  

# 梯度下降函数
def grad_descent(zh, zdr, r, a, b, c, lr=0.01, epochs=100):

    for i in range(epochs):
        
        # 计算损失函数  
        preds = [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z, zd in zip(zh, zdr)]
        loss = np.mean((preds - r)**2)
        
        # 计算梯度
        a_grad = 2 * np.mean((preds - r) * preds * (a ** (b-1)) * (c ** (c-1)))
        b_grad = 2 * np.mean((preds - r) * preds * (np.log(z) * a ** b * (c ** c)))
        c_grad = 2 * np.mean((preds - r) * preds * (np.log(zd) * a ** b * (c ** (c-1))))
        
        # 参数更新  
        a = a - lr * a_grad
        b = b - lr * b_grad 
        c = c - lr * c_grad
        
    return a, b, c
    
# 拟合参数
a, b, c = grad_descent(zh, zdr, r, a, b, c)

# 模型评估
zh_test, zdr_test, r_test = ... # 测试数据
preds_test = [zr_relation(z, zd, a, b, c) for z, zd in 

梯度下降函数

问题四

1. 基准模型

${\hat{Y}}_0=f(X_0;{\theta }_0)$

其中$X_0$为单偏振Z_H,${\theta }_0$为模型参数,${\hat{Y}}_0$为预测。

1. 评估模型

${\hat{Y}}_1=f(X_1;{\theta }_1)$

其中$X_1$包含Z_H、Z_DR、K_DP,${\theta }_1$为参数,${\hat{Y}}_1$为预测。

1. 模型评估

$RMS{E}_0=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(Y_i-{\hat{Y}}_{0i}{)}^2$

$RMS{E}_1=\frac{1}{n}{\sum }_{i=1}^n(Y_i-{\hat{Y}}_{1i}{)}^2$

比较$RMS{E}_0$和$RMS{E}_1$。

1. 注意力机制融合

$\hat{Y}={\sum }_{i=1}^m{\alpha }_i{f}_i(X_i;{\theta }_i)$

学习权重${\alpha }_i$,自适应地融合不同数据源$X_i$的预测。

import tensorflow as tf
from tensorflow.keras import layers, models

# 1. 构建基准模型 
inputs_zh = layers.Input(shape=(10, 64, 64, 1))
conv_zh = layers.Conv2D(32, 3)(inputs_zh)
lstm_zh = layers.LSTM(32)(conv_zh)
outputs_zh = layers.Dense(64*64)(lstm_zh)
base_model = models.Model(inputs_zh, outputs_zh)

# 2. 构建增强模型
inputs_dual_pol = layers.Input(shape=(10, 64, 64, 3))  
conv_dual_pol = layers.Conv2D(32, 3)(inputs_dual_pol)
lstm_dual_pol = layers.LSTM(32)(conv_dual_pol)
outputs_dual_pol = layers.Dense(64*64)(lstm_dual_pol)
enhanced_model = models.Model(inputs_dual_pol, outputs_dual_pol)

# 3. 模型训练
# 载入数据
X_train, X_test = load_data()  

# 数据预处理
X_train = normalize(X_train)
X_test = normalize(X_test)

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